Bertrand Russell descubrió la paradoja que lleva su nombre en mayo de 1901, mientras trabajaba en sus Principios de Matemáticas (1903). La paradoja surge en relación con el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Dicho conjunto, si existe, será un miembro de sí mismo si, y solamente si, no es un miembro de sí mismo. El valor de la paradoja continúa, ya que, en la lógica clásica, todas las sentencias están implicadas por una contradicción.
La paradoja de Russell surge como resultado del llamado axioma de la comprensión no restringida (o abstracción) de la ingenua teoría de conjuntos. El axioma da forma a la intuición de que cualquier condición coherente puede usarse para determinar un conjunto (o clase). La mayoría de los intentos de resolver la paradoja de Russell se han concentrado en varias formas de restringir o abandonar este axioma.
Aunque fue introducido por primera vez por Russell en 1903 en los Principios, su teoría de los tipos encuentra su expresión madura en su artículo de 1908 Lógica matemática según la teoría de los tipos y en la obra monumental que fue coautor con Alfred North Whitehead, Principia Mathematica. Allí, la teoría admite dos versiones, la “teoría simple” y la “teoría ramificada”. Ambas versiones fueron posteriormente cuestionadas. Para algunos, eran demasiado débiles ya que no lograron resolver todas las paradojas conocidas. Para otros, eran demasiado fuertes ya que no permitían muchas definiciones matemáticas que, aunque eran consistentes, violaban el principio del círculo vicioso. La respuesta de Russell a la segunda de estas objeciones fue introducir, dentro de la teoría ramificada, el axioma de reducibilidad. Aunque el axioma disminuyó con éxito el ámbito de aplicación del principio del círculo vicioso, muchos afirmaron que simplemente era demasiado ad hoc para justificarse filosóficamente.
De igual importancia durante este mismo período fue la defensa de Russell del lógismo, la teoría de que las matemáticas eran, en cierto sentido, reducibles a la lógica. Primero defendido en sus Principios, y luego en más detalle en Principia Mathematica, el lógismo de Russell consistió en dos tesis principales. La primera es que todas las verdades matemáticas pueden traducirse a verdades lógicas o, en otras palabras, que el vocabulario de las matemáticas constituye un subconjunto adecuado de la lógica. La segunda es que todas las pruebas matemáticas pueden ser refundidas como pruebas lógicas o, en otras palabras, que los teoremas de las matemáticas constituyen un subconjunto adecuado de los de la lógica.
De la misma manera en que Russell usó la lógica para aclarar problemas en los fundamentos de las matemáticas, también quiso hacerlo para aclarar problemas en filosofía. Como uno de los fundadores de la “filosofía analítica”, Russell es recordado por su trabajo que utiliza la lógica de primer orden para mostrar cómo una amplia gama de frases denotativas se puede replantear en términos de predicados y variables cuantificadas. Por lo tanto, también es recordado por su énfasis en la importancia de la forma lógica para la resolución de muchos problemas filosóficos relacionados. La esperanza de Russellen este campo, como en el de las matemáticas, era que, al aplicar la maquinaria y los conocimientos lógicos, uno pudiera resolver dificultades que de otra manera serían imposibles.
Russell fue nieto de Lord John Russell, quien sirvió dos veces como Primer Ministro bajo la reina Victoria. Tras la muerte de su madre (en 1874) y de su padre (en 1876), Russell y su hermano se fueron a vivir con sus abuelos. (Aunque el padre de Russell había otorgado la custodia de Russell y su hermano a dos ateos, los abuelos de Russell tuvieron pocas dificultades para hacer que su voluntad fuera anulada). Tras la muerte de su abuelo (en 1878), Russell fue criado por su abuela, Lady Russell. Educado al principio de manera privada, y más tarde en el Trinity College de Cambridge, Russell obtuvo títulos de primera clase tanto en matemáticas como en ciencias morales.
Aunque fue elegido miembro de la Royal Society en 1908, la carrera de Russell en Trinity llegó a su fin en 1916, cuando fue condenado por actividades en contra de la guerra. Como resultado de la condena, fue despedido de la universidad. Dos años más tarde, Russell fue condenado por segunda vez. Esta vez pasó seis meses en prisión. Fue mientras estaba en prisión que escribió su muy bien recibida Introducción a la filosofía matemática (1919). No regresó a Trinity hasta 1944. Casado cuatro veces y conocido por sus affairs, Russell se postuló sin éxito para el Parlamento, en 1907, 1922 y 1923. Junto con su segunda esposa, abrió y dirigió una escuela experimental a finales de 1920 y principios de 1930. Se convirtió en el tercer conde Russell tras la muerte de su hermano en 1931.
Mientras enseñaba en los Estados Unidos a fines de la década de 1930, a Russell le ofrecieron una reunión para enseñar en el City College de Nueva York. Reunión que nunca llegó a realizarse, debido a una gran cantidad de protestas públicas, que se volvieron decisión judicial, en 1940, decretándolo moralmente incapaz de enseñar en esa institución. Nueve años más tarde fue galardonado con la Orden del Mérito. Recibió el Premio Nobel de Literatura en 1950.
Durante los años cincuenta y sesenta, Russell se convirtió en fuente de inspiración para un gran número de jóvenes idealistas como resultado de sus continuas protestas contra la guerra y contra las armas nucleares. Junto con Albert Einstein, lanzó el Manifiesto Russell-Einstein en 1955, pidiendo la reducción de las armas nucleares. En 1957, fue un organizador principal de la primera Conferencia de Pugwash, que reunió a científicos preocupados por la proliferación de armas nucleares. Se convirtió en el presidente fundador de la Campaña para el Desarme Nuclear en 1958 y fue nuevamente encarcelado, esta vez en relación con las protestas antinucleares, en 1961. En la apelación, su sentencia de prisión de dos meses se redujo a una semana en el hospital. Siguió siendo una figura pública prominente hasta su muerte nueve años después a la edad de 97 años.
