Cosme Mariano Argerich nació el 26 de septiembre de 1758 en Buenos Aires, hijo mayor del doctor Francisco Argerich y de doña María Josefa del Castillo.
Una vez finalizados sus primeros estudios, fue enviado a España a seguir medicina en la Real Universidad de Cervera. Sobresalir entre los alumnos, le valió a Cosme ser designado ayudante rentado en las cátedras de física y química. Terminó sus estudios de medicina en 1783.
Su labor como médico fue muy apreciada en Barcelona, donde contrajo matrimonio con doña Margarita Marti, y nació Francisco Cosme, quién a su vez, sería un célebre médico. La Academia de Medicina de Barcelona le otorgó su título académico en 1791.
En 1794 volvió a Buenos Aires y prestó servicios en el Colegio de Huérfanos; ese mismo año fue designado primer examinador del Protomedicato fundado por el Dr. O’Gorman, cargo que ya había ejercido su padre.
En junio de 1802, el Rey aprobó su nombramiento como catedrático de medicina con carácter de sustituto en lugar de O’Gorman.
Desde 1803, Argerich fue secretario del Tribunal del Protomedicato, y en 1811, la Primera Junta lo designó tercer conjuez de la misma, convirtiéndolo así en árbitro de la formación académica local.
Combatió los sucesivos brotes de viruela que ocurrían periódicamente en Buenos Aires, como acontecía en los puertos de la época. En 1801, publicó un artículo en el Telégrafo Mercantil, recomendando recurrir a la acción benéfica de la vacunación. Fue médico jefe del Hospital de la Caridad durante las invasiones inglesas de 1086 y 1807, secundado en esas tareas por 17 discípulos médicos cirujanos.
Participó en el Cabildo del 22 de mayo de 1810, donde votó por la caducidad de las autoridades españolas, dándole al pueblo la potestad de elegir a sus gobernantes. En 1811 fue ascendido a Conjuez del Tribunal del Protomedicato, y ese mismo año figuró entre los candidatos para la Junta Protectora de la Libertad de Imprenta. Perteneció a la Sociedad Patriótica Libertaria. El gobierno le encargó la redacción de un Proyecto de Constitución.
En 1813 la Asamblea General Constituyente aprobó su plan de estudios para la “Facultad Médica y Quirúrgica”. Presentó las modificaciones necesarias para transformar esta institución en otra de gran necesidad, el “Instituto Médico Militar”. En ese año Argerich fue nombrado Director en la cátedra de Clínica Médica. Al año siguiente, proyectó un Reglamento de Medicina Militar con Francisco de Paula Rivero y Agustín E. Fabre, que incluye en sus artículos la escala jerárquica de la sanidad castrense y los sueldos respectivos. En 1818, completó el proyecto original, y presentó al gobierno un plan de estudios y el reglamento para el Instituto Médico.
Con doña Juana López Camelo y Cheves, casado en segundas nupcias tuvo trece hijos. Muchos de sus descendientes siguieron su carrera y otros se destacaron como políticos y letrados.
El Dr. Cosme Mariano Argerich falleció el 14 de febrero de 1820 en Buenos Aires. Sus restos fueron llevados al Convento de San Francisco. Tres años después fue trasladado al Cementerio de la Recoleta. Bernardino Rivadavia asistió a la ceremonia en calidad de Ministro de Gobierno.
Rivadavia propuso una suscripción pública con el objeto de erigir un monumento, y que su retrato fuese colocado en la Sala de Sesiones de la Academia de Medicina.
La ciudad de Buenos Aires nombró una calle, un Hospital Municipal y el Hospital Militar Central, en su honor.
