Hijo de Vicente de Azcuénaga y de Rosa de Basavilbaso y Urtubía; hermano de Miguel, miembro de la primera Junta gubernativa de mayo de 1810. Estudió en Sevilla de donde regresó para concluir sus estudios de abogado en Lima. Trabajó como profesional en Buenos Aires y se inscribió en la matrícula de la Real Audiencia en 1790.
A comienzos del siglo XIX se suscitó en la literatura rioplatense un movimiento poético de dos vertientes: la culta, seudoclasicista, que siguió los patrones peninsulares de la época (Cadalso, Cienfuegos, Quintana, Arriaza, Moratín); la otra popularista, que mirando el ejemplo metropolitano, igualmente atendió a gustos y modos populares nativos y cultivó la letrilla satírica, la décima intencionada y la fábula ridiculizante. Lavardén representó en Buenos Aires a la primera rama y Domingo de Azcuenaga a la segunda.
Fundó la Sociedad Literaria del Plata, y se destacó como poeta, de cuya pluma ha quedado testimonio a través de apologías, fábulas y una glosa de la cual se habla más adelante.
Aparece en una lista de suscriptores al Telégrafo Mercantil de 1801 a la edad de cuarenta y tres años, como colaborador de dicho periódico firmaba como “D.D.D.A.”. En el Telégrafo Mercantil se publicaron mensualmente sus fábulas, entre 1801 y 1802, expresión de la poesía didáctica y crítica de costumbres con matices satíricos y mordaces. En esas piezas literarias ridiculiza a médicos y boticarios valiéndose de alegorías de plantas y animales del propio entorno. El toro, el oso y el lobo, El mono enfermo, El águila, el león y el cordero, El comerciante y la cotorra, Los papagayos y la lechuza, Los sátiros y El mono y el tordo son los títulos.
Domingo de Azcuenaga fue uno de los hombres cultos con que contaba la capital del virreinato del Río de La Plata, poseedores de selectas bibliotecas e interesados lectores principalmente de obras significativas del Siglo de Oro entre los que podemos citar a Juan Baltasar Maciel, Manuel Medrano y Manuel José de Lavardén.
En sus escritos se develan asiduas contiendas literarias; tal es el caso de las que se dieron en relación a las Poesías Fúnebres compuestas en 1797 por el “presbítero Don Juan Fernández de Agüero y Echave, licenciado en Sagrada Teología, bachiller en Leyes y capellán de la real Armada”, en ocasión de la muerte del virrey Melo de Portugal e impresas en Buenos Aires.
En 1799 la imprenta de Expósitos da luz a las Poesías místicas teológico-morales del sacerdote limeño Fernández de Agüero e igualmente en la portada se le nomina capellán de la real Armada y doctor. En breve Domingo de Azcuenaga compone los Gozos al bienaventurado doctor Juan Fernández de Agüero en los cuales se burla del limeño pidiéndole “líbranos, por caridad de malos versos” y lo considera “bienaventurado”, en alusión a su muerte simbólica, y “doctor” refiriéndose al título con que se ha impropiamente condecorado. Si bien no adhiere al espíritu republicano de los patriotas que gestaron la revolución de mayo esto no significa que se opusiera drásticamente al movimiento. Estos pensamientos los expresa en una Glosa, de las que se citan algunos fragmentos: “Con que, que hablen de mi / Nada se me da, mi amiga. / Que bueno o malo el sistema / Sea, en eso no me meto. / Dicen que no soy patriota/ Ni adoro la libertad. / Porque odio la iniquidad / Que en nuestro suelo se nota”.
También en otro momento opina acerca de la soberanía del pueblo: “Respóndeme aunque te pese/ El tener que responder: / Siendo el pueblo soberano / ¿A quién toca obedecer? / Confieso, Armando, que no hallo / Ley por donde patriotismo / Hacer pueda a un tiempo mismo, / Al pueblo rey y vasallo”.
Además en un tono burlesco e irónico y con inferior calidad literaria realizó una minuciosa crónica de las ocupaciones que tenían y de los cargos públicos que ocuparon varios de los hombres que participaron en la revolución de mayo de 1810. Escribió igualmente una letrilla en la cual critica a La Gaceta: “En esto de ser ‘pintores’ / Nadie nos puede ganar / Porque sabemos pintar / Las cosas de mil colores. / Siempre somos vencedores / Ninguno nos mete del diente […]”.
Después de la derrota de los ejércitos patriotas en Sipe-Sipe compuso un soneto que manifestaba los efectos de los resultados de la batalla en el pueblo de Buenos Aires.
La conocida Lira Argentina, primera antología nacional de poesía reunida por Ramón Díaz en 1824 y editada en París incluye algunas letrillas que son de su autoría y la glosa mencionada anteriormente.
En una sesión del cabildo del 2 de enero de 1817 fue propuesto por el regidor Francisco de Santa Coloma para ocupar el cargo de defensor de pobres.
La moción fue de apoyada por quien fuera secretario de la Primera Junta de Gobierno, Juan José Paso, pero rechazada por otros sectores. Como resultado terminó por ocupar el cargo Bartolomé Cueto.
Se había casado con Clara Isabel Núñez y Chavarría.
